Alexander Schmitt's Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Alexander Schmitt

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Beweis. , rn−1 } umfasst alle Drehungen, die in der Diedergruppe enthalten sind. Die Abbildung ̺ s (s. , rn−1 · s } ebenfalls n Elemente umfasst. , rn−1 · s = ∅. In der Tat haben die Elemente der linken“ Menge die Determinante 1 und die der rechten ” Determinante −1. Wegen #Dn = 2n folgt die Behauptung. Bemerkung. , en−1 die Ecken eines regelm¨assigen n-Ecks auf dem Einheitskreis. , n − 1. , n − 2, und kn−1 diejenige, die en−1 mit e0 verbindet. i) Wir wissen, dass r · s eine Spiegelung ist, und zwar diejenige an der Achse durch den Mittelpunkt der Kante k0 .

Das Element r−k dreht die Spiegelungsachse auf die x-Achse. Dann wird an der x-Achse gespiegelt und schließlich die Drehung r¨uckg¨angig gemacht. , n − 1. , n−1 } und j ∈ { 0, 1 } schreiben. 17 Definitionen. i) Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn ein Element g ∈ G mit G= g existiert. ii) F¨ur g ∈ G ist Ord(g) := ∞, falls gn min{ n ≥ 1 | g = e }, sonst n e f¨ur alle n ≥ 1 die Ordnung von g. 18 Bemerkungen. i) F¨ur eine Gruppe G und ein Element g ∈ G ist evg : −→ G k −→ gk ein Gruppenhomomorphismus.

Dann folgt e = e · e′ = e′ . Dabei wurde in der ersten Gleichung die Neutralit¨at von e′ benutzt und in der zweiten die von e. ii) Seien g, h, h′ ∈ G Gruppenelemente, so dass h′ · g = h · g = e = g · h = g · h′ . Es folgt h′ = h′ · e = h′ · (g · h) = (h′ · g) · h = e · h = h. 3 Aufgabe (Eine andere Definition des Gruppenbegriffs). Es seien G eine Menge und · : G × G −→ G, (g, h) −→ g · h, eine Verkn¨upfung mit folgenden Eigenschaften: ⋆ Das Assoziativgesetz ist erf¨ullt. h. f¨ur jedes g ∈ G hat man e · g = g.

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Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Alexander Schmitt

by Robert

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